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10 拓扑

欧几里得拓扑

实线 R 和欧式平面 $R^2$
对实数集合R，x的领域是指存在 $\epsilon > 0$ ，开区间 $(x - \epsilon, x + \epsilon) \subset R$
序列 ${ x_n }$ 收敛到 x （记作 $x_n \rightarrow x$ ），是指对任意 $\epsilon >0$ ，存在足够大的 N >0, 使得对所有 n > N 都有 $|x - x_n| < \epsilon$
连续定理：函数 $f : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ 在 $\mathcal{R}$ 中连续，当且仅当对任意开集 $U \subset R$ 的原像 $V = f^{-1}(U)$ 也是 $\mathcal{R}$ 中的开集

给定集合X，X中的拓扑是一个子集族O，也叫开集，满足
1. 空集 $\Phi$ 是开集，全集X是开集， ${ \Phi, X } \subset \mathcal{O}$
2. 交运算封闭：如果 $U,V \in \mathcal{O}$ 是开集，那么交集 $U \cap V \in \mathcal{O}$
3. 并运算封闭：如果 $\{V_i|i \in I \}$ 是开集族，那么并集 $\cup_{i \in I} V_i$ 也是开集。
集合X和拓扑 $\mathcal{O}$ 共同构成了拓扑空间 $(X, \mathcal{O})$ , X中的元素叫做点
欧式空间 $R^n$ 的拓扑，定义开集为：对子集 $U \subset R^n$ ，如果U中的任意点x，存在一个开球
$B_r(x) = \{y\in R^n| |y - x| < r \} \subset U$
距离按照正常欧式空间的定义。这些所有的开集组成开集族，构成欧式空间中的拓扑，这种拓扑也就是标准拓扑！
闭集：如果V的补X - V 是开集，那么V是闭集。闭集的有限并是闭，无限并就可能是开集了
如果A是X的子集，A上的相对拓扑是指开集族
$\mathcal{O}_A = \{ A \cap U | U \in \mathcal{O} \}$

如果在拓扑空间 $(M, \mathcal{O})$ 中定义距离函数 $d : M \times M \rightarrow R$ 。距离函数要满足，半正定、对称、三角不等式。那么这个空间就构成一个距离空间。

如果X中的点是可分的，那么就是一个Hausdorff空间。可分是指，对任意 $x, y \in X$ ，存在不相交的开邻域 $x \in U$ 和 $y \in V$ ， $U \cap V = \Phi$ 。也就是存在两个包含这两个点的互不相交的开集。