统计检验 - Tracholar的个人wiki

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关于

汇总统计检验相关知识点。

检验数据拟合优度。KS test

检验统计量

$F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{[-\infty, x]}(X_i) \\ D_n = \sup_{x} |F_n(x) - F(x)|$

Wiener过程 Wt
1. $W_0 = 0$
2. 独立增量过程 $W_{t+u} - W_t, u \ge 0$ 独立于 $W_s: s \le t$
3. 高斯增量 $W_{t+u} - W_t \sim \mathcal{N}(0, u)$
4. 连续路径，以概率1在t空间连续

Wiener过程作为 random walk 的极限！设 $\xi_1, \xi_2, ...$ iid，均值为0，方差为1的随机变量。对任意正整数n，定义连续时间随机过程

$W_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{1 \le k \le nt} \xi_k, n \rightarrow \infty$

由中心极限定理可知，对于充分大的n， $W_n(t) - W_n(s) \rightarrow \mathcal{N}(0, t-s)$ 。

$B_t := (W_t | W_T = 0), t \in [0, T]$
其中

$W_t$ 是 Wiener 过程。

$K = \sup_{t \in [0, 1]}|B(t)|$
其中

$B(t)$ 是 Brownian bridge.

KS检验的检验统计量 $\sqrt{n} D_n \rightarrow \sup_t |B(F(t))|$ ，即近似服从 Kolmogorov–Smirnov 分布。