关于

汇总统计检验相关知识点。

独立性检验

• 卡方检验
• F检验

KS（Kolmogorov–Smirnov）检验

检验数据拟合优度。KS test

检验统计量

$$
F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{[-\infty, x]}(X_i) \\
D_n = \sup_{x} |F_n(x) - F(x)|
$$

• Wiener过程 $(W_t)$
  1. $(W_0 = 0)$
  2. 独立增量过程 $(W_{t+u} - W_t, u \ge 0)$ 独立于 $(W_s: s \le t)$
  3. 高斯增量 $(W_{t+u} - W_t \sim \mathcal{N}(0, u))$
  4. 连续路径，以概率1在t空间连续

Wiener过程作为 random walk 的极限！设 $(\xi_1, \xi_2, ...)$ iid，均值为0，方差为1的随机变量。对任意正整数n，定义连续时间随机过程

$$
W_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{1 \le k \le nt} \xi_k, n \rightarrow \infty
$$

由中心极限定理可知，对于充分大的n，$(W_n(t) - W_n(s) \rightarrow \mathcal{N}(0, t-s))$。

• Brownian bridge，定义随机过程 $(B_t)$ 为

$$
B_t := (W_t | W_T = 0), t \in [0, T]
$$
其中 $(W_t)$是 Wiener 过程。

• Kolmogorov 分布，定义随机变量

$$
K = \sup_{t \in [0, 1]}|B(t)|
$$
其中 $(B(t))$ 是 Brownian bridge.

KS检验的检验统计量 $(\sqrt{n} D_n \rightarrow \sup_t |B(F(t))|)$，即近似服从 Kolmogorov–Smirnov 分布。