统计检验

关于

汇总统计检验相关知识点。

独立性检验

KS(Kolmogorov–Smirnov)检验

检验数据拟合优度。KS test

检验统计量

$$
F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{[-\infty, x]}(X_i) \\
D_n = \sup_{x} |F_n(x) - F(x)|
$$

Wiener过程作为 random walk 的极限!设 $(\xi_1, \xi_2, ...)$ iid,均值为0,方差为1的随机变量。对任意正整数n,定义连续时间随机过程

$$
W_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{1 \le k \le nt} \xi_k, n \rightarrow \infty
$$

由中心极限定理可知,对于充分大的n,$(W_n(t) - W_n(s) \rightarrow \mathcal{N}(0, t-s))$。

$$
B_t := (W_t | W_T = 0), t \in [0, T]
$$
其中 $(W_t)$是 Wiener 过程。

$$
K = \sup_{t \in [0, 1]}|B(t)|
$$
其中 $(B(t))$ 是 Brownian bridge.

KS检验的检验统计量 $(\sqrt{n} D_n \rightarrow \sup_t |B(F(t))|)$,即近似服从 Kolmogorov–Smirnov 分布。